В чугунную ванну формы параллелепипеда (ширина $%w$%, длина $%l$%, высота $%h$%, масса $%m$%) течет тонкая струйка горячей воды температуры $%T$% со скоростью $%v$%. Начальная температура ванной - комнатная ($%T_0$%). Размерности - стандартные (СИ). Для простоты можно считать, что температура воздуха существенно не изменяется от теплообмена, а температура воды - одинаковая во всей ванной (допустим, воду кто-то помешивает), так же как температура самой ванной. Написать зависимость температуры воды в ванной от времени.
Это не школьная задача, так что если я забыл указать что-то из исходных данных, то можно додумать это самостоятельно.

задан 25 Фев '13 0:39

10|600 символов нужно символов осталось
1

Через время $%t$% натечет объем воды равный $%v \ast t$% (на самом деле скорость здесь показывает именно изменение объема за единицу времени, если я все правильно понимаю :-)). Соответственно, тепловой баланс через $%t$% можно написать так: $%c_ч \ast m \ast (T_к - T_0) = c_в \ast p \ast v \ast t \ast (T - T_к)$%

$%c_ч$% - теплоемкость чугуна, $%c_в$% - теплоемкость воды, $%T_к$% - конечная температура системы, $%p$% - плотность воды. Далее можно перенести все члены с $%T_к$% в одну сторону уравнения и вывести формулу для $%T_к$%.

На всякий случай я предполагаю, что вода и чугунная ванна приходят к тепловому равновесию очень быстро. Также мне не очень ясно, как смоделировать ситуацию, когда ванна переполнена.

P.S. прошу расставить правильно тэги форматирования, если ответ выглядит не очень читабельно.

ссылка

отвечен 4 Мар '13 2:37

изменен 9 Мар '13 10:40

Нет, вода и чугунная ванна не приходят к тепловому равновесию очень быстро. К сожалению, это задача на динамику, а не на статику, и написанное выше уравнение не подходит. Здесь надо как-то учитывать, с какой скоростью передается тепло, но я не знаю как.

(9 Мар '13 9:17) chameleon

Тогда на первый взгляд кажутся очевидными несколько моментов.

  1. Теплообмен между водой и ванной будет происходить по площади их соприкосновения (т.е. дно и боковушки).
  2. Из п.1 получается, что температура ванной с ее наполнение будет расти быстрее (WTF!?)
  3. Кажется я забыл охлаждение воздухом. Тогда получается, что возможно ванная никогда и не нагреется (если струйка слишком тонкая или температура воды слишком низкая).
(9 Мар '13 10:43) gecube
10|600 символов нужно символов осталось
0

И вот, спустя годы, мне удалось догуглиться до этого заветного закона! Носит он имя Стефана-Больцмана и утверждает, что тело излучает тепло со скоростью $${dQ \over dt} = A \sigma T^4 S$$ где $%Q$% - излучаемое количество теплоты, $%t$% - промежуток времени, $%A$% - коэффициент теплопоглощения материала (зависящий, вообще-то, от его температуры, но этим часто пренебрегают), $%\sigma$% - постоянная Стефана, $%T$% - абсолютная температура тела, $%S$% - площадь поверхности соприкосновения.
Соответственно, при взаимодействии поверхностей двух тел (либо тела с воздухом) следует учитывать разницу излучаемых энергий двумя этими телами (т.е., сколько тепла первое тело излучает, столько же второе поглощает, и в обратную сторону): $${d|\Delta Q| \over dt} = \sigma |A_1 T_1^4 - A_2 T_2^4| S$$ У нас есть такие виды теплообмена:
1) "вода-ванная", площадь взаимодействия равна wl+2(w+l)y, где y=vt - текущая высота воды в ванной
2) "вода-воздух", площадь взаимодействия равна wl
3) "ванная-воздух", площадь взаимодействия равна wl+2(w+l)(2h-y) (толщиной стенок ванны пренебрежем)
4) постоянное добавление горячей воды в ванную: масса воды равна $%m=\rho wlvt$%. Изучив добавление горячей воды за время dt и расписав для этого уравнение теплового баланса, сможем получить мгновенную скорость приращения температуры воды: $$c m \tau + c dm T = c (m + dm) (\tau + d\tau)$$ Отсюда после сокращения слагаемых, подстановки формулы массы воды и сокращения коэффициентов получаем: $${d\tau \over dt} = {T-\tau \over t}$$ Изо всего этого можно получить систему дифференциальных уравнений с известными начальными значениями, а дальше уже - дело техники.

ссылка

отвечен 27 Авг 1:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Физика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов по естественным наукам для физиков, химиков, астрономов и биологов.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×60

задан
25 Фев '13 0:39

показан
704 раза

обновлен
27 Авг 1:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru