термодинамика - Температура воды

И вот, спустя годы, мне удалось догуглиться до этого заветного закона! Носит он имя Стефана-Больцмана и утверждает, что тело излучает тепло со скоростью $${dQ \over dt} = A \sigma T^4 S$$ где $%Q$% - излучаемое количество теплоты, $%t$% - промежуток времени, $%A$% - коэффициент теплопоглощения материала (зависящий, вообще-то, от его температуры, но этим часто пренебрегают), $%\sigma$% - постоянная Стефана, $%T$% - абсолютная температура тела, $%S$% - площадь поверхности соприкосновения.
Соответственно, при взаимодействии поверхностей двух тел (либо тела с воздухом) следует учитывать разницу излучаемых энергий двумя этими телами (т.е., сколько тепла первое тело излучает, столько же второе поглощает, и в обратную сторону): $${d|\Delta Q| \over dt} = \sigma |A_1 T_1^4 - A_2 T_2^4| S$$ У нас есть такие виды теплообмена:
1) "вода-ванная", площадь взаимодействия равна wl+2(w+l)y, где y=vt - текущая высота воды в ванной
2) "вода-воздух", площадь взаимодействия равна wl
3) "ванная-воздух", площадь взаимодействия равна wl+2(w+l)(2h-y) (толщиной стенок ванны пренебрежем)
4) постоянное добавление горячей воды в ванную: масса воды равна $%m=\rho wlvt$%. Изучив добавление горячей воды за время dt и расписав для этого уравнение теплового баланса, сможем получить мгновенную скорость приращения температуры воды: $$c m \tau + c dm T = c (m + dm) (\tau + d\tau)$$ Отсюда после сокращения слагаемых, подстановки формулы массы воды и сокращения коэффициентов получаем: $${d\tau \over dt} = {T-\tau \over t}$$ Изо всего этого можно получить систему дифференциальных уравнений с известными начальными значениями, а дальше уже - дело техники.