|
Предположим, что Земля - шар, а гравитационное поле полностью симметрично относительно её центра. У нас есть идеальная ровная концентрическая Земле поверхность стола, на которой лежит абсолютно гладкое тело (брусок), то есть, трение покоя отсутствует. Стол установлен нормально поверхности Земли (с сохранением концентричности). Всё это хозяйство стоит где-то на экваторе. Брусок ложим вертикально вниз, без придания ему продольных скоростей. Вопрос: можно ли будет ожидать от бруска движения в сторону, противоположную вращению Земли? UPD1 Цитата Андрей Юрьевич:
На основании какого закона вывод о сохранении угловой скорости? P.S. Не понимаю, к чему цепляться за несущественные детали аналогии ("точильщик с кругом разлетятся" и проч.). Очевидно же, что объединяет оба примера единственная центростремительная сила: в первом - сила тяжести, во втором - прижимание ножа (разве имеет значение то, каким образом получена эта сила?). Или вы считаете, что наличие силы тяжести, действующей на нож и точильщика (а то и камень заодно), существенно меняет положение вещей? В общем, ваш ответ запутывает. UPD2 @wusan В комментариях закончилось место, вынужден писать здесь (пишите наверное в своём ответе..). Я не понял, как может выбор системы отсчёта повлиять на наличие или остутствие внешних сил, определяющих "замкнутость" или "разомкнутость" механической системы. Объясните пожалуйста.
Ну всё правильно, абсолютно с вами согласен. Замечаю, что азимут и угол места меняются с постоянной скоростью ("угловая скорость", постоянство которой мы установили, - это оно и есть). А ведь из этого ведь и следует постоянство скорости в сферической системе координат, давайте распишем:
$$
\overrightarrow{V_{Сф.СК}} = \left( \begin{matrix} \frac{dr=0}{dt}=0 \\ \frac{d \beta \not=0}{dt}=const=\beta' \\ задан 21 Июн '13 14:47 
АлекСт |
|
Если отсутствуют горизонтальные силы, воздействующие на брусок, ожидать от бруска движения относительно стола (Земли)в любую сторону бесполезно, он продолжит вращение с той же угловой скоростью, которая была ему сообщена в момент соприкосновения с поверхностью стола. Ответ на комментарий АлекСт При движении с ускорением СК не является инерциальной, это означает существование в такой системе сил, не связанных с взаимодействием тел системы друг с другом и зависящих от движения самой СК. В соответствии с принципом эквивалентности инертной и гравитационной масс ускоренную СК локально можно рассматривать как СК, находящуюся в некотором гравитационном поле. Мы также знаем, что наличие ускорений определяется воздействием на мех.систему внешних сил. Поэтому произвольная мех. система, рассматриваемая в ускоренной СК не является замкнутой. отвечен 21 Июн '13 23:48 
wusan А почему он продолжит вращение с той же угловой скоростью, которая была сообщена в момент соприкосновения?
(25 Июн '13 0:01)
АлекСт
По причине изотропности пространства и инвариантности физических законов относительно поворотов в нем (группа симметрии SO(3)), следствием чего является наличие у замкнутых механических систем интеграла движения (сохраняющейся величины при преобразованиях из группы симметрии), называемого моментом импульса.
(25 Июн '13 9:02)
wusan
|
|
Смотря, какая скорость относительно Земли была у бруска в момент попадания его на стол. Эта относительная скорость будет сохраняться. Сфероид - это, насколько я понял, шар? Дополнение 1. Сила трения покоя, действующая на брусок, лежащий на любой поверхности (шероховатой или гладкой) равна нулю, если на брусок не действуют силы, направленные вдоль трущихся поверхностей. В данном случае, таких сил нет, поэтому замена шероховатой поверхности на гладкую пройдет для бруска совершенно незаметно. Дополнение 2 (ответ на комментарий). Разберем ваш пример точильщика с кругом. Во-первых, заметим, что и круг, и точильщик находятся на Земле, поэтому, для чистоты аналогии их следует поместить в космос. Итак, где-то в космическом пространстве вдали от других тел есть абразивный круг и точильщик с ножом. Будем считать, что круг раскручен до некоторой угловой скорости и вращается по инерции. При этом окажется, что никакая заточка невозможна, т.к. от малейшего соприкосновения точильщик и круг разлетятся в разные стороны. Для того, чтобы заточка все-таки происходила, точильщику придется пойти на некоторые ухищрения, например, взяться двумя руками за ось круга (будем считать, что на ось надеты очень хорошие подшипники) и прижимать при этом нож к кругу животом. Это уже будет имитацией силы тяжести, поэтому такая система действительно будет иметь некоторую аналогию с системой "брусок+Земля". Что же дальше будет происходить с нашим точильщиком? Будем считать, что он долго тренировался, прошел курс йоги, поэтому с его животом ничего не случилось. Нож, наверное, немного заточился. Но постепенно из-за силы трения (заметим, не покоя, а скольжения!) брусок будет замедлять вращение, а точильщик с ножом, наоборот, начнет раскручиваться. И через некоторой время угловые скорости бруска и точильщика сравняются. После этого нож окажется в состоянии покоя относительно круга и его заточка прекратится. Если в этот момент произойдет какая-то перекристаллизация, в результате которой круг из абразивного станет абсолютно гладким, все останется в том же виде: круг с точильщиком будут продолжать вращаться с той же угловой скоростью, покоясь друг относительно друга. Перейдем к Земле. Все предметы, находящиеся на поверхности Земли и покоящиеся относительно нее, вращаются с угловой скоростью Земли. Для того, чтобы прекратить (или даже как-то изменить) это вращение, нужно приложить силу вдоль направления скорости. Пока такой силы нет, вращение будет продолжаться с той же угловой скоростью. Дополнение 3 (ответ на добавление к вопросу). По поводу "цепляния к несущественным деталям", Вы ошибаетесь, наоборот, я выделил самые существенные. А именно, если у нас есть замкнутая система двух взаимодействующих друг с другом тел, то момент импульса этой системы сохраняется, что является прямым следствием законов Ньютона. Можно этот факт сформулировать и по-другому. Рассмотрим не систему двух тел, а только одно тело (брусок или точильщика). Это не замкнутая система, т.к. есть внешняя сила (для бруска это сила тяжести). Но это центральная сила, она перпендикулярна скорости, поэтому ее проекция на направление скорости равна нулю. Такая сила не может изменить абсолютную величину скорости, она изменяет только ее направление, поэтому абсолютная величина скорости, а стало быть и угловая скорость, сохранятся. отвечен 21 Июн '13 16:17 
Андрей Юрьевич Да, шар. В момент попадания нулевая относительно Земли скорость. Соль вопроса в том, что Земля вращается.
(21 Июн '13 22:41)
АлекСт
Если бы на брусок ничего не действовало, нельзя было бы заточить нож о наждачный круг.
(23 Июн '13 23:53)
АлекСт
Почему? При чем тут наждачный круг? Если нож крутится вместе с наждачным кругом, то он, действительно, не будет затачиваться.
(23 Июн '13 23:58)
Андрей Юрьевич
Нож не крутится вместе с наждачным кругом. Точильщик прижимает нож по направлению к центру и лишь при заточке компенсирует возникающую силу трения. Круг вращается относительно ножа, благодаря этому возможно заточить нож. Найдите отличия от условия задачи.
(24 Июн '13 22:46)
АлекСт
В постановках отличие в точильщика наличии.
(24 Июн '13 23:29)
wusan
Сила тяжести заменяет точильщика.
(25 Июн '13 1:52)
АлекСт
|
|
Ну нет, господа-товарищи! Если диаметрально одному бруску расположить такой же ещё один брусок, тогда ничто не изменится, и оба бруска останутся в покое. В противном случае центр системы сместится, и что-то в состоянии покоя системы "Земля - брусок" нарушится! Кроме того, изменится момент инерции системы, изменится угловая скорость и проч. - даже (во вред своему выводу: тем более!) при двух брусках! отвечен 22 Июн '13 17:17 
бубен Брусок, наверное, не из космоса прилетел, просто слегка переместился из одной точки на поверхности Земли в другую. А вообще, относительная величина эффектов, о которых Вы пишете, не превышает $%10^{-24}$%, т.е., с точки зрения любого реального эксперимента, равна нулю.
(22 Июн '13 23:34)
Андрей Юрьевич
|
Меня интересовал вопрос сохранения угловой скорости тела на поверхности Земли. Я понял, что на основании закона сохранения момент импульса для замкнутых систем. Это единственное, что мне было нужно, и прозвучало оно у Андрея Юрьевича, правда, среди множества букв. Андрей Юрьевич! Если вы сократите свой ответ до указанного минимума, я его помечу как правильный.
Краткие варианты Вам предлагались, Вы их проигнорировали (см. мой комментарий к вопросу об угловой скорости). Андрей Юрьевич дал исчерпывающий и подробный ответ, и его заслуга в том, что он добился Вашего понимания ценой невероятных усилий. Так зачем же требовать от него нелепого сокращения количества букв? Проявите уважение к специалисту, затратившему время.
@АлекСт, я больше не буду отвечать на Ваши вопросы и комментировать ваши ответы.
@wusan Выбирая между теорией симметрии и законом сохранения момента импульса я выберу последний. Можете считать это игнорированием. Я не согласен с вами, что требование сократить количество букв нелепо. Этот сайт служит поиску быстрого ответа на вопрос, в этом его смысл. Читать длинный ответ, больше половины состоящий из объяснений вопрошающему, и только где-то в середине содержащий ключевое разъяснение, я бы уморился. Тем более, что "относительная скорость будет сохраняться" - только в сферической СК. Я благодарен А.Ю. за разъяснения, но сейчас они уже не нужны. Реакция ваша странна. Обоих.
1) Законы сохранения являются следствием определенных симметрий - факт не зависящий от Вашего выбора. 2) Для разных вопрошающих ключевые разъяснения могут содержаться в различных частях текста. 3) Утверждение о том, что ""относительная скорость будет сохраняться" - только в сферической СК" ошибочно. Величина (длина) вектора относительной угловой скорости сохраняется в любой СК, а сама эта скорость с учетом ее направления при преобразованиях СК преобразуется как аксиальный вектор (псевдовектор). 4) Странность реакции - субъективное заключение, не основанное на каком либо критерии.
1) я выбираю тот ответ, который мне больше понятен; 2) соглашусь, но все же лучше сократить - иначе можно просто отправлять в гугл; 3) Скорость бруска как векторная величина, какой она и является, не будет постоянна, например, в геоцентрической прямоугольной (ECEF) системе координат, потому что меняется её направление. При чём тут длина, если скорость - вектор? Надо называть вещи своими именами. "В любой СК" - даже если СК сама движется с переменной угловой скоростью? 4) основанное.
Вектор - объект, имеющий число компонент, равное размерности пространства, имеет длину и направление. Направление относительной угловой скорости не меняется в произвольной инерциальной СК, при переходе к произвольно движущейся инерциальной СК преобразуется как псевдовектор. Если СК движется с переменной угловой скоростью, она не является инерциальной, поэтому перестает быть замкнутой (возникает абстрактный точильщик), при этом на брусок будут действовать внешние силы, что противоречит условию. Направление относительной мгновенной скорости меняется в любой СК, в том числе и сферической.
С угловой скоростью согласен. Дело в том, что в исходных цитатах можно было понять, что имеется в виду линейная. Простите, а что значит "замкнутость" системы координат? Может, вы имели в виду замкнутую механическую систему? Про мгновенную скорость в сферической СК вы зря. Ведь она определяется как $% \begin{matrix} dr \ d \beta \ d \varepsilon \end{matrix} $%, а ведь при движении по окружности с постоянным модулем скорости эти величины будут постоянны.
Прошу прощения за пропущенные слова "" механическая система" перестает быть замкнутой". При движении по окружности с постоянной скоростью радиальная компонента не меняется, но меняются азимутальная и полярная (по крайней мере полярная) компонента, потому что меняется направление вектора. Это легко понять просто из факта наличия центростремительного ускорения. Отличное от нуля ускорение означает не равную нулю производную вектора скорости по времени, что опровергает гипотезу о постоянстве скорости. Как мы знаем, дифференцирование константы дает в результате ноль.
@АлекСт, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.