|
Маленький шарик массы $%m$% подвешен на пружине жесткости $%k$% и несет заряд $%Q$%. В начальный момент шарик удерживают так, что пружина не деформирована. Под шариком на расстоянии $%h$% лежит такой же шарик с зарядом $%−Q$%. Верхний шарик отпускают. При каком минимальном значении $%Q$% нижний шарик подпрыгнет? Ускорение свободного падения равно $%g$%. Понятно, что для тогда чтобы нижний шар подпрыгнул нужно чтобы кулоновская сила привысила силу тяжести,отсюда $%F_k>mg; Q> \sqrt{ \frac{mg}{k} }h $% Но это видимо не ответ на вопрос задачи, подскажите как тут связать со всем пружину(её жесткость и удлинение).По мере как пружина растягивается, $%F_k$% возрастает, это как учесть? задан 28 Июн '13 11:52 
Dragon65 |
|
Исправленное решение. @wusan совершенно прав: ускорение верхнего шарика в нижней точке не равно нулю, поэтому для нижней точки нужно записывать не баланс сил, а баланс энергий. При этом скорость верхнего шарика в нижней точке все-таки равна нулю, поэтому слагаемое, выражающее кинетическую энергию, в этой точке зануляется. Итак, кулоновская сила достигнет максимальной величины, когда расстояние между шариками $%h'$% станет минимальным, т.е. в момент наибольшего растяжения пружины, соответствующий нулевой скорости верхнего шарика. Суммарное изменение потенциальной энергии при этом должно быть равно нулю, т.е. Все исходные параметр должны быть при этом связаны дополнительным условием, соответствующим условию $%h'>0$%, т.е. $%hk>2mg$%. Дополнение (ответ на комментарий). Начну с "условия подпрыгивания". На нижний шарик действуют 3 силы: сила тяжести $%-mg$%, сила реакции опоры $%N$% и кулоновская сила $%\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{{h'}^2}$%. Знаки сил записаны в предположении, что ось направлена вверх, поэтому сила тяжести имеет отрицательную проекцию на нее, а сила реакции и кулоновская сила - положительные проекции. Пока шарик покоится алгебраическая сумма сил равна нулю. При приближении верхнего шарика уменьшается $%h'$%, следовательно возрастает кулоновская сила. Сила тяжести при этом не изменяется, поэтому нулевая сумма 3-х сил может сохраниться только за счет уменьшения силы реакции опоры, что и происходит по мере приближения верхнего шарика. Условие "подпрыгивания" - обращение силы реакции в ноль, при этом баланс сил запишется в виде $%-mg+\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{{h'}^2}=0$%. Если кулоновская сила будет продолжать увеличиваться, то сумма сил, действующих на шарик, перестанет быть равной нулю, и шарик приобретет ускорение. Перейдем теперь к условию "максимальности" кулоновской силы. "Подпрыгивание" реализуется при определенном значении кулоновской силы $%F_k=mg$%. Но, т.к. $%F_k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{{h'}^2}$%, а нас интересует минимальное значение $%Q$%, то нам необходимо рассмотреть именно минимальное значение $%h'$% или, что то же самое, такое $%h'$%, которое обеспечит максимальное значение $%F_k$% при заданном $%Q$%. Дополнение 2 (ответ на комментарий @wusan ). Поясняю предложенный мысленный эксперимент. Предположим, что заряд достаточно мал, так что отрыва нижнего шарика не происходит. В этом случае верхний шарик совершает движение в потенциальной яме. Такое движение является периодическим, т.е. колебательным (хотя и не гармоническим). Из колебательного характера движения следует существование нижней точки, которой соответствует нулевая скорость и минимальное расстояние $%h'$%. Увеличение заряда приведет к увеличению потенциальной энергии системы, следовательно, к увеличению амплитуды колебаний, следовательно, - к уменьшению минимального значения $%h'$%. Этому минимальному значению $%h'$% соответствует максимальное значение кулоновской силы и, следовательно, минимальное значение силы реакции опоры, действующей на нижний шарик. Все эти рассуждения останутся в силе, пока нижний шарик остается в покое, т.е. пока заряд меньше критического значения, при котором происходит отрыв нижнего шарика от поверхности. Постепенно увеличиваем заряд до критического значения - все остается в силе, ч.т.д. Дополнение 3 (ответ на дополнение 1 @wusan ). Можно, конечно, создать отдельный вопрос, но можно продолжить обсуждение и здесь. Действительно, если поставить задачу полного анализа рассматриваемой системы при всех возможных значениях, параметров, то задача становится чрезвычайно сложной. Но ведь этого не требуется! В условии требуется найти минимальное значение заряда. Да, в четырехмерном пространстве параметров $%h,k,m,Q$% - это гиперповерхность, но подойти к этой гиперповерхности можно из той области, для которой я написал решение. Да, в условии задачи есть некорректность, т.к. не указано условие $%hk>2mg$%, ограничивающее допустимую область пространства параметров. Но если считать, что это условие (его, можно назвать "условием доминирования жесткости") выполнено, приведенное решение корректно, если не выполнено - задача не может быть решена, т.к. не хватает данных. В этом случае для стальных шариков получится одно решение, для свинцовых другое, а для пластилиновых третье. отвечен 28 Июн '13 13:24 
Андрей Юрьевич |Кулоновская сила достигнет максимальной величины| А для чего нужно заострять внимание когда кулоновская сила максимальная? | Для второго шарика условие "подпрыгивания" можно записать как $%mg= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q^2}{h'^2} $%| Моя догадка(скорее предположение):Максимальную силу кулона сравнивают с mg, которая удерживает на поверхности второй шарик и тогда получается $%max(F_k)=mg$% и только $%max(F_k)$% поднимет шар, что соответствует, что заряд минимальный,но и тогда нижний шар подпрыгнет только при растяжении пружины max,это приемлемо в задаче?
(30 Июн '13 9:32)
Dragon65
Андрей Юрьевич, на основании чего Вами сделан вывод о том, что "скорость верхнего шарика в нижней точки все-таки равна нулю". Вы ведь не проинтегрировали уравнения движения с учетом начальных условий. Более того само понятие нижней точки является условным, ведь критерий подпрыгивания второго шарика не вполне связан с параметрами системы, включающей первый шарик и пружину (жесткость пружины в него не вошла).
(1 Июл '13 14:11)
wusan
Спасибо большое, разобрался :)
(1 Июл '13 14:53)
Dragon65
Утверждение А.Ю.: "Итак, кулоновская сила достигнет максимальной величины, когда расстояние между шариками h′ станет минимальным, т.е. в момент наибольшего растяжения пружины, соответствующий нулевой скорости верхнего шарика" ошибочно. В момент и после подпрыгивания нижнего шарика кулоновская сила увеличивается, пружина продолжает растягиваться, ускорение и скорость верхнего шарика возрастают вплоть до момента удара шариков. В момент удара нижний шарик передает верхнему свой импульс, и скорость верхнего меняет знак. Дальнейшее движение системы зависит от того было соударение упругим или нет.
(1 Июл '13 15:15)
wusan
Простите, @wusan, мы кажется, говорим о разных вещах. Как я понял, в условии под "подпрыгиванием" понимается отрыв шарика от поверхности, дальнейшее его движение не рассматривается. А отрыв произойдет при минимальном расстоянии. Давайте рассмотрим серию мысленных экспериментов, так что в первом заряд очень мал, а в каждом последующем увеличивается на $%\Delta Q$%. Разве не очевидно, что отрыв произойдет в каком-то $%n$%-м эксперименте именно когда верхний шарик окажется в своей нижний точке?
(1 Июл '13 15:28)
Андрей Юрьевич
Вы понимаете под нижней точкой координату верхнего шарика в момент отрыва нижнего от поверхности, однако нет оснований утверждать, что в этой точке скорость верхнего шарика равна нулю, что и было мной показано посредством рассмотрения дальнейшего движения системы, несмотря на отсутствие требования такого рассмотрения в условии. Предложенный мысленный эксперимент не проясняет того, как увязать изменение заряда со скоростью в нижней точке и не может быть основанием для выдвинутого Вами предположения об остановке верхнего шарика в момент отрыва от поверхности нижнего.
(1 Июл '13 16:39)
wusan
|
|
Уравнение для равновесия сил в этой задаче неприменимо, потому что шарик на пружине движется с ускорением (переменным), при этом момент подпрыгивания второго шарика не обязан совпадать с моментом максимального удлинения пружины (если таковое вообще предусмотрено). Так как силы зависят от координат, избежать решения дифференциальных уравнений можно воспользовавшись интегральными соотношениями. В данном случае таким соотношением будет закон сохранения энергии:(1/2)k(h-h')^2+(1/2)mv^2=mg(h-h')+(1/(4pieps0))*(Q^2)(1/h-1/h'). В условии неявно предполагается невесомость пружины и то, что можно пренебречь кинетической энергией первого шарика, в противном случае для определения Q необходимо задать скорость первого шарика в момент отрыва второго. Если не отбрасывать член с кинетической энергией, то для движения шарика на пружине получается нелинейное дифференциальное уравнение, решение которого выражается через эллиптические функции.
Условие подпрыгивания приведено правильно у обоих авторов.
Дополнение 1 (ответ на дополнение2 А.Ю.)
Предлагаю анализ задачи вынести в отдельный вопрос форума по причине отсутствия здесь места. Краткая аргументация состоит в том, что Вами рассмотрен всего лишь частный случай, реализующийся при определенном численном соотношении параметров. В общем случае движение может происходить не только в потенциальной яме, но и за ее пределами. Потенциальная энергия верхнего шарика имеет вид ("y" - вертикальная координата центра верхнего шарика, отсчитываемая от центра нижнего шарика(считаем радиус шариков маленьким по сравнению с h)):
U(y)=(1/2)k(h-y)^2+mg(h-y)-(1/4(pi)(eps0))(Q^2)/y.
В области, где U(y)<0 точек остановки нет, и движение будет происходить с ускорением.
Уравнение U(y)=0 имеет три корня (один действительный и два комплексно сопряженных или три действительных). Тип решения и соответственно областей с U(y)>0 и U(y)<0 определяется численными значениями параметров m,k,h и, как ни странно, искомым Q. В области, где доминирует жесткость пригодно приведенное Вами решение, однако в области доминирования массы и/или кулоновских сил нижней точки не существует (по формальным признакам движение инфинитно, движение верхнего шарика ограничивается исключительно соударением с нижним).
. отвечен 1 Июл '13 9:58 
wusan |