Маленький шарик массы $%m$% подвешен на пружине жесткости $%k$% и несет заряд $%Q$%. В начальный момент шарик удерживают так, что пружина не деформирована. Под шариком на расстоянии $%h$% лежит такой же шарик с зарядом $%−Q$%. Верхний шарик отпускают. При каком минимальном значении $%Q$% нижний шарик подпрыгнет? Ускорение свободного падения равно $%g$%.

Понятно, что для тогда чтобы нижний шар подпрыгнул нужно чтобы кулоновская сила привысила силу тяжести,отсюда $%F_k>mg; Q> \sqrt{ \frac{mg}{k} }h $% Но это видимо не ответ на вопрос задачи, подскажите как тут связать со всем пружину(её жесткость и удлинение).По мере как пружина растягивается, $%F_k$% возрастает, это как учесть?

задан 28 Июн '13 11:52

перемечен 1 Июл '13 16:03

%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%B9%20%D0%AE%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87's gravatar image


1.0k6

10|600 символов нужно символов осталось
0

Исправленное решение. @wusan совершенно прав: ускорение верхнего шарика в нижней точке не равно нулю, поэтому для нижней точки нужно записывать не баланс сил, а баланс энергий. При этом скорость верхнего шарика в нижней точке все-таки равна нулю, поэтому слагаемое, выражающее кинетическую энергию, в этой точке зануляется.

Итак, кулоновская сила достигнет максимальной величины, когда расстояние между шариками $%h'$% станет минимальным, т.е. в момент наибольшего растяжения пружины, соответствующий нулевой скорости верхнего шарика. Суммарное изменение потенциальной энергии при этом должно быть равно нулю, т.е.
$$\frac{1}{2}k(h-h')^2+mg(h'-h)-\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}Q^2(\frac{1}{h'}-\frac{1}{h})=0$$ Для второго шарика условие "подпрыгивания" можно записать как $$mg=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{{h'}^2}$$ Из полученных двух уравнений, подставив $%\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}Q^2=mg{h'}^2$% находим $$h'=h \frac{kh-2mg}{kh+2mg}$$ Подставив последнее выражение во второе уравнение, находим $%Q$%.

Все исходные параметр должны быть при этом связаны дополнительным условием, соответствующим условию $%h'>0$%, т.е. $%hk>2mg$%.

Дополнение (ответ на комментарий). Начну с "условия подпрыгивания". На нижний шарик действуют 3 силы: сила тяжести $%-mg$%, сила реакции опоры $%N$% и кулоновская сила $%\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{{h'}^2}$%. Знаки сил записаны в предположении, что ось направлена вверх, поэтому сила тяжести имеет отрицательную проекцию на нее, а сила реакции и кулоновская сила - положительные проекции. Пока шарик покоится алгебраическая сумма сил равна нулю. При приближении верхнего шарика уменьшается $%h'$%, следовательно возрастает кулоновская сила. Сила тяжести при этом не изменяется, поэтому нулевая сумма 3-х сил может сохраниться только за счет уменьшения силы реакции опоры, что и происходит по мере приближения верхнего шарика. Условие "подпрыгивания" - обращение силы реакции в ноль, при этом баланс сил запишется в виде $%-mg+\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{{h'}^2}=0$%. Если кулоновская сила будет продолжать увеличиваться, то сумма сил, действующих на шарик, перестанет быть равной нулю, и шарик приобретет ускорение.

Перейдем теперь к условию "максимальности" кулоновской силы. "Подпрыгивание" реализуется при определенном значении кулоновской силы $%F_k=mg$%. Но, т.к. $%F_k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{{h'}^2}$%, а нас интересует минимальное значение $%Q$%, то нам необходимо рассмотреть именно минимальное значение $%h'$% или, что то же самое, такое $%h'$%, которое обеспечит максимальное значение $%F_k$% при заданном $%Q$%.

Дополнение 2 (ответ на комментарий @wusan ). Поясняю предложенный мысленный эксперимент. Предположим, что заряд достаточно мал, так что отрыва нижнего шарика не происходит. В этом случае верхний шарик совершает движение в потенциальной яме. Такое движение является периодическим, т.е. колебательным (хотя и не гармоническим). Из колебательного характера движения следует существование нижней точки, которой соответствует нулевая скорость и минимальное расстояние $%h'$%. Увеличение заряда приведет к увеличению потенциальной энергии системы, следовательно, к увеличению амплитуды колебаний, следовательно, - к уменьшению минимального значения $%h'$%. Этому минимальному значению $%h'$% соответствует максимальное значение кулоновской силы и, следовательно, минимальное значение силы реакции опоры, действующей на нижний шарик. Все эти рассуждения останутся в силе, пока нижний шарик остается в покое, т.е. пока заряд меньше критического значения, при котором происходит отрыв нижнего шарика от поверхности. Постепенно увеличиваем заряд до критического значения - все остается в силе, ч.т.д.

Дополнение 3 (ответ на дополнение 1 @wusan ). Можно, конечно, создать отдельный вопрос, но можно продолжить обсуждение и здесь. Действительно, если поставить задачу полного анализа рассматриваемой системы при всех возможных значениях, параметров, то задача становится чрезвычайно сложной. Но ведь этого не требуется! В условии требуется найти минимальное значение заряда. Да, в четырехмерном пространстве параметров $%h,k,m,Q$% - это гиперповерхность, но подойти к этой гиперповерхности можно из той области, для которой я написал решение. Да, в условии задачи есть некорректность, т.к. не указано условие $%hk>2mg$%, ограничивающее допустимую область пространства параметров. Но если считать, что это условие (его, можно назвать "условием доминирования жесткости") выполнено, приведенное решение корректно, если не выполнено - задача не может быть решена, т.к. не хватает данных. В этом случае для стальных шариков получится одно решение, для свинцовых другое, а для пластилиновых третье.

ссылка

отвечен 28 Июн '13 13:24

изменен 2 Июл '13 13:02

|Кулоновская сила достигнет максимальной величины| А для чего нужно заострять внимание когда кулоновская сила максимальная? | Для второго шарика условие "подпрыгивания" можно записать как $%mg= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q^2}{h'^2} $%| Моя догадка(скорее предположение):Максимальную силу кулона сравнивают с mg, которая удерживает на поверхности второй шарик и тогда получается $%max(F_k)=mg$% и только $%max(F_k)$% поднимет шар, что соответствует, что заряд минимальный,но и тогда нижний шар подпрыгнет только при растяжении пружины max,это приемлемо в задаче?

(30 Июн '13 9:32) Dragon65

Андрей Юрьевич, на основании чего Вами сделан вывод о том, что "скорость верхнего шарика в нижней точки все-таки равна нулю". Вы ведь не проинтегрировали уравнения движения с учетом начальных условий. Более того само понятие нижней точки является условным, ведь критерий подпрыгивания второго шарика не вполне связан с параметрами системы, включающей первый шарик и пружину (жесткость пружины в него не вошла).

(1 Июл '13 14:11) wusan

Спасибо большое, разобрался :)

(1 Июл '13 14:53) Dragon65

Утверждение А.Ю.: "Итак, кулоновская сила достигнет максимальной величины, когда расстояние между шариками h′ станет минимальным, т.е. в момент наибольшего растяжения пружины, соответствующий нулевой скорости верхнего шарика" ошибочно. В момент и после подпрыгивания нижнего шарика кулоновская сила увеличивается, пружина продолжает растягиваться, ускорение и скорость верхнего шарика возрастают вплоть до момента удара шариков. В момент удара нижний шарик передает верхнему свой импульс, и скорость верхнего меняет знак. Дальнейшее движение системы зависит от того было соударение упругим или нет.

(1 Июл '13 15:15) wusan

Простите, @wusan, мы кажется, говорим о разных вещах. Как я понял, в условии под "подпрыгиванием" понимается отрыв шарика от поверхности, дальнейшее его движение не рассматривается. А отрыв произойдет при минимальном расстоянии. Давайте рассмотрим серию мысленных экспериментов, так что в первом заряд очень мал, а в каждом последующем увеличивается на $%\Delta Q$%. Разве не очевидно, что отрыв произойдет в каком-то $%n$%-м эксперименте именно когда верхний шарик окажется в своей нижний точке?

(1 Июл '13 15:28) Андрей Юрьевич

Вы понимаете под нижней точкой координату верхнего шарика в момент отрыва нижнего от поверхности, однако нет оснований утверждать, что в этой точке скорость верхнего шарика равна нулю, что и было мной показано посредством рассмотрения дальнейшего движения системы, несмотря на отсутствие требования такого рассмотрения в условии. Предложенный мысленный эксперимент не проясняет того, как увязать изменение заряда со скоростью в нижней точке и не может быть основанием для выдвинутого Вами предположения об остановке верхнего шарика в момент отрыва от поверхности нижнего.

(1 Июл '13 16:39) wusan
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнение для равновесия сил в этой задаче неприменимо, потому что шарик на пружине движется с ускорением (переменным), при этом момент подпрыгивания второго шарика не обязан совпадать с моментом максимального удлинения пружины (если таковое вообще предусмотрено). Так как силы зависят от координат, избежать решения дифференциальных уравнений можно воспользовавшись интегральными соотношениями. В данном случае таким соотношением будет закон сохранения энергии:(1/2)k(h-h')^2+(1/2)mv^2=mg(h-h')+(1/(4pieps0))*(Q^2)(1/h-1/h'). В условии неявно предполагается невесомость пружины и то, что можно пренебречь кинетической энергией первого шарика, в противном случае для определения Q необходимо задать скорость первого шарика в момент отрыва второго. Если не отбрасывать член с кинетической энергией, то для движения шарика на пружине получается нелинейное дифференциальное уравнение, решение которого выражается через эллиптические функции. Условие подпрыгивания приведено правильно у обоих авторов. Дополнение 1 (ответ на дополнение2 А.Ю.) Предлагаю анализ задачи вынести в отдельный вопрос форума по причине отсутствия здесь места. Краткая аргументация состоит в том, что Вами рассмотрен всего лишь частный случай, реализующийся при определенном численном соотношении параметров. В общем случае движение может происходить не только в потенциальной яме, но и за ее пределами. Потенциальная энергия верхнего шарика имеет вид ("y" - вертикальная координата центра верхнего шарика, отсчитываемая от центра нижнего шарика(считаем радиус шариков маленьким по сравнению с h)): U(y)=(1/2)k(h-y)^2+mg(h-y)-(1/4(pi)(eps0))(Q^2)/y. В области, где U(y)<0 точек остановки нет, и движение будет происходить с ускорением. Уравнение U(y)=0 имеет три корня (один действительный и два комплексно сопряженных или три действительных). Тип решения и соответственно областей с U(y)>0 и U(y)<0 определяется численными значениями параметров m,k,h и, как ни странно, искомым Q. В области, где доминирует жесткость пригодно приведенное Вами решение, однако в области доминирования массы и/или кулоновских сил нижней точки не существует (по формальным признакам движение инфинитно, движение верхнего шарика ограничивается исключительно соударением с нижним). .

ссылка

отвечен 1 Июл '13 9:58

изменен 2 Июл '13 9:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Физика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов по естественным наукам для физиков, химиков, астрономов и биологов.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×110
×31

задан
28 Июн '13 11:52

показан
1186 раз

обновлен
2 Июл '13 13:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru