На гладкой горизонтальной поверхности стола находится клин с углом $% \alpha $% при основании . Брусок массой $%m$% , положенный на клин, опускается с некоторым постоянным ускорением относительно стола стола,направленным под углом $%\beta$% к горизонту $%β>α$% Горизонт направлен также как плоскость стола) . Определите массу $%M$% клина. Трением между бруском и клином пренебречь.

Часа три сидел над этой задачей, нашёл решений пять, и в каждом нахожу что-то не то, вот мои рассуждения: Раз трения клина со столом и с бруском нет, то в процессе движения бруска клин будет двигаться в обратном направлении по столу. Импульс системы "Клин+брусок" в проекции на ось Ох (плоскость стола) сохраняется . Отсюда $%\overrightarrow{P_cx}= \overrightarrow{P_бx}+ \overrightarrow{P_кx} \equiv 0 $% $%Mv_б-mv_k\equiv 0 $%. $%v=at $% Время для обоих одинаково и оно сокращается, основная проблема с ускорением : $%Ma_kx=ma_бx(1)$% Ускорение бруска в задаче дано относительно стола и только с углом к горизонту , я посчитал что только составляющая относительного ускорения по оси $%Ox$% разгоняет клин и она равна $%acosβ$% т.е.$%a_kx=acosβ(2)$% Но $%a$%- это относительное ускорение и оно неизвестно, но можно записать относительно стола 2 закон Ньютона на $%Ox$%(плоскость стола)для бруска:$%Nsin\alpha =macosβ$% выразив отсюда a и подставив в $%(1)$% учитывая $%(2)$% получим:$$ M= \frac{m^2a_бx}{Nsin\alpha} $$ И главный вопрос: Ускорение бруска относительно самого бруска будет другое и направлено "по" клину? Если да, то оно равно $%gsin \alpha$%? В проекции на плоскость стола это ускорение будет равно $%gsin\alpha cos\alpha$% И учитывая что $%N=mgcos\alpha$% Получим, что $$M=m$$ И всё, либо так, либо вообще получалось что масса клина меньше бруска, не пойму, подскажите в чем ошибка,возможно я саму ситуацию не понимаю, либо в законах что-то путаю?

задан 22 Июл '13 12:28

@Dragon65, здравствуйте. Поясните, пожалуйста, почему во 2 законе Ньютона для клина в проекции на ось ох ускорение клина имеет положительный знак, ведь a′ направлено противоположно ускорению бруска?

(27 Июл '13 0:10) Phisik

Phisik,добрый день, Ось Ox направлена по движению бруска в плоскости стола, на неё проекции веса бруска и силы $%Ma'$% клина отрицательны, минус на минус плюс, далее вес бруса равен $%-N$% в проекции$%-Nsin \alpha$% и получается сам закон)

(27 Июл '13 10:56) Dragon65
10|600 символов нужно символов осталось
1

Второй закон Ньютона для бруска запишется как $$m \vec{a}=m\vec{g}+\vec{N}$$, а для клина $$M\vec{a'}=-\vec{N}+M\vec{g}+\vec{N'}$$, где $%\vec{N}$% - сила давления клина на брусок, $%\vec{N'}$% - сила давления стола на клин.
Выберем направление оси абсцисс так, чтобы брусок перемещался в положительном направлении, ось ординат направим вниз и распишем уравнения в проекциях $$ ma_x=N \cdot sin(\alpha) $$ $$ma_y=mg-N\cdot cos(\alpha)$$ $$Ma'=-N \cdot sin(\alpha) $$ Уравнение для y-составляющей для клина не записано, т.к. его добавление ничего не даст (появится дополнительно одно уравнение и одна дополнительная неизвестная величина $%N'$%).
Из условия также известно, что $$\frac{a_y}{a_x}=tg(\beta)$$
Получилась система четырех уравнений для пяти неизвестных $%a_x$%, $%a_y$%, $%a'$%, $%N$% и $%M$%. Неполнота этой системы связана с тем, что мы не учли условие "твердости" клина и бруска, т.е. условие того, что брусок перемещается только по поверхности клина и не углубляется внутрь его. Это условие можно записать рассмотрев элементарное перемещение бруска вдоль осей на величины $%|\Delta x|$% и $%|\Delta y|$% соответственно. Пусть клин при этом переместился на величину $%|\Delta x'|$%. Т.к. брусок должен остаться на поверхности клина, то $%\frac{|\Delta y|}{|\Delta x|+|\Delta x'|}=tg(\alpha)$%, откуда $$\frac{|a_y|}{|a_x|+|a'|}=tg(\alpha)$$. Или, учитывая знаки ускорений $$\frac{a_y}{a_x-a'}=tg(\alpha)$$. Это и есть недостающее пятое уравнение, которое замыкает систему.
Далее система решается последовательным исключением неизвестных. Получается $$M=\frac{m}{tg(\beta)ctg(\alpha)-1}$$

ссылка

отвечен 22 Июл '13 21:41

изменен 23 Июл '13 13:30

$% a_x$% и $%a_y$% - это составляющие относительного ускорения бруска? $$\circ$$И всё таки,относительно самого бруска его ускорение направлено "по" клину и равно $%gsin\alpha$%? $$\circ$$Ускорение Клина $%a'$% будет направлено противоположно ускорению бруска?$$\circ$$ И ещё, мне не совсем понятно как вы так направили оси, что на $%Ox$%сила реакции со стороны клина на брус проецируется $%Ncos\alpha$% Если Ох идет по плоскости стола разве не должно быть $%Nsin\alpha$%?

(23 Июл '13 9:37) Dragon65

Да, по поводу углов Вы правы, исправил. Но на решение и на ответ это не влияет. Дело в том, что второе уравнение лишнее, для решения оно не нужно, т.к. в ответ не входит $%g$%. А первое и третье уравнения при решении системы складываются, при этом член с $%N$% сокращается. Поэтому существенным для решения является только тот факт, что сила действия клина на брусок и сила действия бруска на клин равны по величине и противоположны по направлению (3 закон Ньютона). Что касается ускорений - все они записаны в инерциальной системе отсчета, т.е. относительно стола, $%a'$% отрицательно.

(23 Июл '13 13:52) Андрей Юрьевич

Увидел еще Ваш вопрос об относительном ускорении бруска (вы, видимо, имели ввиду ускорение бруска относительно клина, ускорение бруска относительно него самого, очевидно, равно нулю). Так вот, ускорение бруска относительно клина действительно направлено вдоль клина, но это все происходит в неинерциальной системе отсчета, в которой появится дополнительная сила инерции из-за ускоренного движения клина. Если расписать уравнения в этой системе отсчета с учетом дополнительной силы инерции, получится то же самое.

(23 Июл '13 19:20) Андрей Юрьевич

|Что касается ускорений - все они записаны в инерциальной системе отсчета, т.е. относительно стола, a′ отрицательно.| Т.е. клин поедет из-за силы давления бруса на него в противоположную брусу сторону, так ? ) при сложении 1 и 3 уравнений: $%-Ma'=ma_x$% Далее разделим:$% \frac{tg\beta}{tg\alpha}=1- \frac{a'}{a_x} $% и выразим $%a'$% и подставим в уравнение, полученное сложением 1-го и 3-го:$%-Ma_x(1-\frac{tg\beta}{tg\alpha})=ma_x$%
$%a_x$% сокращается и получается $%M= \frac{m}{\frac{tg\beta}{tg\alpha}-1}$%

(24 Июл '13 11:39) Dragon65
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Физика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов по естественным наукам для физиков, химиков, астрономов и биологов.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×51

задан
22 Июл '13 12:28

показан
2598 раз

обновлен
27 Июл '13 10:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru